ENSCK 2019 Mathématiques

Question 1 :

On considère la suite numérique $(u_n)_n$ définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n (1 + u_n)$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

A) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n < 1$

B) $(u_n)_n$ est décroissante

C) $u_{n+1} \geq 2u_n, (\forall n \in \mathbb{N})$

D) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n^2 < u_n$

Question 2 :

Pour la suite $(u_n)_n$ définie précédemment

A) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n < 2^n$

B) $(\forall n \in \mathbb{N})$, $u_n \geq 2^n$

C) $\lim_{n \to \infty} u_n = 1$

D) $\lim_{n \to \infty} u_n = 2$

Question 3 :

Soient les nombres complexes : $a = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)i$ et $u = \frac{a}{2 + 2i}$

A) $\arg(a^2) = \frac{5\pi}{6}[2\pi]$

B) $|a^2| = 4$

C) $\arg(a) = \frac{5\pi}{3}[2\pi]$

D) $|a| = 2$

Question 4 :

Pour le nombre complexe $u$ défini précédemment

A) $u^2 = e^{\frac{i5\pi}{6}}$

B) $\arg(u) = -\frac{5\pi}{6}[2\pi]$

C) $u = e^{\frac{i\pi}{6}}$

D) $|u| = 4$

Question 5 :

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes tels que $z = \sqrt{3} - i$ et $z' = (1 + i)z$

A) $z' = (\sqrt{3} - 1) + i(\sqrt{3} + 1)$

B) $z = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$

C) $z' = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\right)$

D) $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$

Question 6 :

On lance 6 fois de suite une même pièce de monnaie. On considère l'événement A : « Obtenir exactement trois fois « face » »

A) $\frac{5}{8}$

B) $\frac{1}{2}$

C) $\frac{1}{32}$

D) $\frac{5}{16}$

Question 7 :

Une boite contient 10 boules : 4 blanches, 3 rouges et 3 vertes(Toutes les boules sont indiscernables au toucher). Le tirage d'une boule blanche rapporte 5 points, celui d'une boule rouge 2 points tandis que celui d'une boule verte coûte 1 point (On perd un point). On tire simultanément au hasard 2 boules et on note X la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points obtenus.

A) $p(X = 7) = \frac{1}{15}$

B) $p(X = 4) = \frac{1}{15}$

C) $p(X < 0) = \frac{1}{15}$

D) $p(X \geq 1) = \frac{4}{15}$

Question 8 :

Soit $ f $ la fonction numérique de la variable réelle $ x $, définie sur $ ]0; +\infty[ $ par : \[ f(x) = x e^{-\frac{x}{2}} \] et soit $ (C_f) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O; \vec{i}, \vec{j}) $. Soit $ (D) $ la droite d’équation : \[ y = x + 1. \]

A) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

B) $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

C) $f'(x) = \frac{x^3 + 1 + 2\ln x}{x^3}$

D) La droite $(\Delta)$ d'équation $y = x + 1$ est une asymptote de $(C_f)$ en $+\infty$

Question 9 :

Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie sur $]-\infty; -1[ \cup ]1; +\infty[$ par $g(x) = x + \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

A) $\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0$

B) $\lim_{x \to 1} g(x) = +\infty$

C) $g$ est paire

D) L'équation $g'(x) = 0$ admet une seule solution

Question 10 :

Cocher la bonne réponse

A) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} = 1$

B) $\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$

C) $\lim_{x \to 0} e^{-\frac{1}{x^2}} = +\infty$

D) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = 1$

Question 11 :

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x+1)e^{-2x}$

A) Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $f'(x) = (x+2)e^{-2x}$

B) $f$ est décroissante sur $]-\infty, \frac{1}{2}[$

C) $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

D) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$

Question 12 :

Cocher la bonne réponse

A) $\int_1^2 \frac{1}{t^2} dt = \ln 4$

B) $\int_0^1 \frac{1}{t+1} dt = \frac{1}{2}$

C) $\int_0^\pi \cos t dt = -2$

D) $\int_0^\pi t \sin t dt = -2$

Question 13 :

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}^*$ par : $u_n = \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)$

On pose pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $ : $ v_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n $

A) $\forall n \in \mathbb{N}^*, u_n > 0$

B) $u_{n+1} - u_n = \ln\left(\frac{(n+2)}{(n+1)^2}\right)$

C) $\forall n \in \mathbb{N}^*, v_n = \ln(n+2)$

D) $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

Question 14 :

Soit $(u_n)_n$ la suite numérique définie par : $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = u_n e^{-u_n}$ pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

A) $(u_n)_n$ est une suite géométrique

B) $(\forall n \in \mathbb{N}), u_n < 0$

C) $(u_n)_n$ est une suite croissante

D) $(\forall n \in \mathbb{N}) \frac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$

Concours d'accès en 1ère année de ENSCK - 2019